Алексей Ефимович Клещев родился 25 февраля 1905 года в деревне Михновичи (ныне Калинковичский район) в семье крестьян. Учился в сельскохозяйственной школе, а также в железнодорожном училище. Начал работать в 1924 году секретарем, а затем председателем Беседского сельсовета Копаткевичского района. В 1927 году Клещев был призван в Красную Армию. Службу проходил в 16-м корпусном артиллерийском полку в городе Могилеве. После демобилизации в 1930 году работал директором Шкловской, Дриссенской и Меховской МТС. А с сентября 1939 года партия направила Клещева в Пинскую область начальником областного земельного отдела.
После начала Великой Отечественной войны, Алексея Ефимовича по решению ЦК КП(б)Б оставили на оккупированной территории для руководства подпольной партийной работой и организации партизанского движения. В октябре 1941 года Клещев перешел линию фронта, а осенью 1942 года вернулся в тыл врага уже уполномоченным ЦК КП(б)Б и Белорусского штаба партизанского движения по Пинской области. Алексеем Ефимовичем был налажен выпуск газеты «Полесская правда» и трех межрайонных газет, которые освещали боевые действия партизанских отрядов, победы Красной Армии на фронтах. Пинским соединением было нанесло ряд мощных ударов по коммуникациям гитлеровских захватчиков. Так, с мая по ноябрь 1943 года было пущено под откос 109 вражеских эшелонов, разгромлено десять вражеских гарнизонов в Любешево, Микошевичах, Лахве, Лунино, взорвано более 30 мостов. Весной 1944 года, партизаны и наступающие части Красной Армии соединились, установив непосредственный боевой контакт, после чего стали наносить по отступавшим немецко-фашистским захватчикам совместные удары. Вскоре развернулись бои и на подступах к Пинску, в результате которых, 14 июля 1944 года город был освобожден от войск противника. Постановлением Совета Народных Комиссаров СССР от 16 сентября 1943 года А. Е. Клещеву было присвоено воинское звание «генерал-майор». А в начале 1944 года за образцовое выполнение правительственных заданий в тылу врага, проявленные при этом отвагу и героизм и за особые заслуги в развитии партизанского движения в Беларуси он был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.
В 1944 года Алексей Ефимович Клещев был назначен первым секретарем Пинского, а в 1946–1948 годах – Полоцкого обкомов Коммунистической партии Беларуси. Благодаря деятельности Алексея Ефимовича, существенно укреплялись партийные организации в городах и деревнях, поднимался уровень организаторской и идеологической работы. С 1948 по 1953 год Алексей Ефимович был председателем Совета Министров Белорусской ССР, также дважды избирался депутатом Верховного Совета СССР. В 1955 году А. Е. Клещев был назначен первым секретарем Кокчетавского обкома Компартии Казахстана и занимал эту должность по 1960 год. С 1961 года вышел на заслуженный отдых. Будучи на пенсии, он до последних дней жизни не оставлял активной общественной работы: поддерживал связь с трудовыми коллективами, вел военно-патриотическую работу среди молодежи. 13 декабря 1968 года Алексея Ефимовича не стало. Похоронен он в Москве на Новодевичьем кладбище. Помимо своей главной награды, Алексей Ефимович был награжден тремя орденами Ленина, орденами Красного Знамени, Отечественной войны 1-й степени, медалями. В честь Алексея Ефимовича Клещева назван Пинский гидромелиоративный техникум, а также улица в Полоцке. На здании Райсельхозтехники в городе Шклове, где он работал, установлена мемориальная доска в память о нем.
